LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL NÚMERO PI

                ARQUÍMEDES, LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL NÚMERO π


Mamani Nelson Andrés-20012

INTRODUCCIÓN



¿Por qué Arquímedes? Podría ser la cantidad de bibliografía que existe dedicada al gran sabio, mi afinidad por la Física o el legado que dejó en la Matemática, pero sería justo decir que un poco de todo esto sirvió para mi elección de investigar a este gran sabio de la antigüedad. El legado que dejó en la matemática es lo que más me sedujo y es ahí donde enfocaré esta investigación, trasladándome de las cuadraturas, por el número “pi”, por las diferencias de áreas, el método de investigación, la mecánica, etc., y así poder elegir el tema a profundizar.

Lo que se sabe de Arquímedes es en gran parte de los relatos de Plutarco y Polibio (Ángel Molina) y de algunos escritos encontrados (palimpsestos o códices) y las coincidencias son variadas y van desde la utilización del sabio de algún método especial (heurístico, exahuasion, mecánico), de la determinación más precisa del numero “pi”, de la construcción de varias maquinarias y hasta iniciar el camino hacia “nuevas ciencias”.

Lo trágico que fue la historia o el momento social histórico para Lavoisier (1794), también lo fue para Arquímedes (212 a.C.), y siendo así esta similitud y relación casual por el devenir de la historia se establecen mas relaciones directas o indirectas con el gran sabio de la antigüedad antes y después de su existencia. Así se desprende y se advierte un tono de injusticia por parte de la historia, ya que sus escritos desaparecieron o eran muy complicados de interpretar y quedaban en el olvido o eran mal traducidos sus trabajos. Para reflejar esto y tener una idea de la magnitud de la obra de Arquímedes a continuación presento un recuento histórico:

-624 a.C. Nacimiento de Tales de Mileto.

-427 a.C. Nacimiento de Platón.

-387 a.C. Fundación de la Academia (Regreso Platón a Atenas).

-384 a.C. Nacimiento de Aristóteles.

-335 a.C. Aristóteles funda el Liceo.

-290 a.C. Fundación de la biblioteca de Alejandría.

-287 a.C. Nacimiento de Arquímedes en Siracusa, Sicilia (fecha aproximada).

-284 a.C. Nacimiento de Eratóstenes (Alejandría).

-264 a.C. Inicio de la I guerra púnica (entre Roma y Cartago).

-241 a.C. Fin de la guerra púnica.

-219 a.C. Inicio de la II guerra púnica (invasión italiana).

-212 a.C. Muerte de Arquimedes (Siracusa).

-1543. Copérnico publica De revolutionibus.

-1564. Nacimiento de Galileo.

-1571. Nacimiento de Kepler.

-1596. Nacimiento de René Descartes.

-1604. Galileo realiza un experimento con una máquina para elevar agua.

-1632. DIALOGO SOBRE LOS SISTEMAS MÁXIMOS.

-1638.Galileo publica DIALOGOS SOBRE DOS NUEVAS CIENCIAS (evolución de la estática y dinámica).

-1637. Descartes realiza la publicación DEL DISCURSO DEL MÉTODO.

-1687. Publicación de los Principios (Newton).

-1748. Leonard Euler da uso oficial a la letra griega π, para denotar el trascendental e irracional número.

-1882.Ferdmad Lindemann demuestra que el número π es trascendental.

Pronunciar a Arquímedes como uno de los más grandes matemáticos o el gran sabio de la antigüedad, es aceptar algunas consideraciones y análisis que se pueden obtener através de esta línea temporal o tomando en cuenta las apreciaciones referidas en los textos:

-Utilización de demostración puramente geométrica en sus trabajos, respetando el contexto de descubrimiento alejandrino y apreciando la concepción aristotélica. (Molina A., 2008-1).

-“El devenir de la ciencia europea es simplemente apuntes a pie de página de la obra de Arquímedes.” (Netz R.-Noel W., 2007).

-“Todos los matemáticos posteriores, ya sea directa o indirectamente, intentaron imitar la elegancia y la manera de sorprender de Arquímedes…” (Netz R.-Noel W., 2007).

-El propio Newton al pronunciar la frase “…solo estoy parado sobre hombros de gigantes...” seguro que hacía referencia a varios antecesores inclusive al propio Arquímedes.

-“Arquímedes fue el matemático más famoso de la antigüedad. Además de un matemático extraordinariamente dotado, fue también un genio de la ingeniería a un nivel nunca visto antes. Fue enormemente admirado por sus contemporáneos y por los escritores posteriores a causa de su talento para la mecánica…” (J.Marsden- A. Tromba, 2004).

RESUMEN

La cuadratura del círculo conformo uno de los grandes problemas a que se enfrentaron los antiguos matemáticos y Arquímedes fue uno de ellos. Hasta que en 1862, Ferdinand von Lindemann demostró que el numero “pi” era trascendental, fueron en cantidad los matemáticos que se sucedieron a resolver este problema. Con el cálculo diferencial iniciado con Newton-Leibinz el problema llegaría a su resolución y fin. Pero la escasa información que dan los códices y palimpsestos afirma que Arquímedes pudo haber hallado la solución utilizando el método de exhaución, el mecánico, la física y una aproximación importante del número “pi”.



PALABRAS CLAVES

Área, Arquímedes, cuadratura, exhaución, espiral, finito, infinito, pi, superficie, trascendental, trisecar.



OBJETIVO

El entender para qué y el cómo Arquímedes se “sumergió” en uno de los tres problemas más grandes de la matemática en la antigüedad (la cuadratura del círculo) y establecer una de las mejores aproximaciones al número pi. Para esto creo que es conveniente hacer una revisión histórica de que conocimientos se tenían y que aspectos sociales importantes pudieron influir en sus trabajos.



CONTEXTO HISTORICO

Desde la escritura cuneiforme nacida en la Mesopotamia (entre el Tigris y Éufrates), también nacía la numeración (3000 años a. C.) y con ella la forma de calcular. Los babilonios utilizaban el sistema sexagesimal (de base 60), y esto es importante destacar porque al realizar los estudios geométricos sobre la circunferencia estos la dividían en 6 partes y cada parte en 60 a partir del radio, dividiéndola así en 360 grados. Utilizaban una aproximación del número pi igual a 3 y ya comparaban al hexágono con el círculo (fig. 1).

Haciendo un salto en el tiempo, ya que los estudios sobre el círculo y el número pi evolucionaron y se diversificaron dependiendo de la cultura, señalaré la importancia y el gran avance que aportaron los griegos. Como señala VicenÇ Torra (2010): “Quizá por influencia egipcia, la geometría suscitó especialmente el interés de los matemáticos griegos, aunque estos no solo la mejoraron, sino que la proyectaron a un nivel superior.”Él saber de los griegos no era práctico, por eso su influencia en las matemáticas permitieron enaltecer esta ciencia exacta. Y esto es muy importante en lo significante de la obra de Arquímedes por la utilización del método de exhaución, enlazar con la mecánica y la física para sus demostraciones. Los griegos a las matemáticas le dieron una dimensión científica, pero Arquímedes no solo continuó en esta línea sino que la tecnificó.

El sistema de numeración que utilizaban los griegos (500 a.C.) disponía de un símbolo para cada uno de los números, del 1 al 9; otro símbolo para cada decena del 10 al 90, y otro para cada centena del 100 al 900. Siendo estos símbolos las letras griegas y a tres fenicias: digamma, kappa y la sampi, donde el 6, el 90 y el 900 son los números que representan respectivamente. Es de destacar que los símbolos representan los números del 1 al 999, y hablando de millares se utilizan las unidades precedidas de una coma. A modo ilustrativo presentare una tabla (Vicenç Torra, Del ábaco a la revolución digital, pp. 29-30):

1α 5ε 9θ 40μ 80π

2 β 6ς 10ι 50ν 90φ

3 γ 7ζ 20κ 60ξ 100ρ

4δ 8η 30λ 70ο 200σ

300τ 700ψ 2000 ,β 6000 ,ς

400υ 800ϖ 3000 ,γ 7000 ,ζ

500ϕ 900ϡ 4000 ,δ 8000 ,η

600χ 1000 ,α 5000 ,ε 9000 ,θ





Profundizando en la historia del número pi tomare como puntal al autor Joaquín Navarro (2011), guiándome por dos preguntas básicas: ¿De dónde proviene este número? y ¿Qué es lo que significa?

Los pitagóricos sabían que la expresión √2 es un número irracional (Kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala, Díaz, 2000). El mismo teorema de Pitágoras abre el camino hacia estos números: Considerando un cuadrado de lado 1 y trazando su diagonal se aplica dicho teorema, así se obtiene la figura 2 (apéndice).

Tomando referencia de los autores Navarro (2011), Torra (2010) y kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala, Díaz (2000), presento el siguiente cuadro reflejando las sucesivas aproximaciones del número “pi”:



ANTIGUO EGIPTO (PAPIRO RHIND). 1800 A. C. BANDHAYANA (INDIA). 500 A. C. ARQUÍMEDES III A. C. PTOLOMEO. II A.C. TSU CHUNG CHI (CHINA). V D.C. AL-KASHI (PERSIA). 1429 ISAAC NEWTON. 1665

3,160493827=256/81 3,09 223/71 O 22/7 377/120 355/113 3,141592653589 3√3/4+24(1/12-1/5.25…)





Vale aclarar que el numero π se empezó a llamar de esa manera en 1706 (Synopsis Palmariorum Matheseos) por William Jones; considerando la letra “p” la primera de la palabra “periferia” y escribiéndola en griego es περιΦρεια. Luego Leonhard Euler para llamar a la constante por “p” la sustituyo por π.

Con respecto a la cuadratura del círculo es lo que se oculta tras la ideal precisión del número pi. Y es simplemente, en palabras de Paul Strathern, encontrar un cuadrado equivalente a un círculo. Este problema junto al de trisecar un ángulo y el de dibujar un cubo cuyo volumen fuera el doble de otro cubo forman parte de las matemáticas no oficiales y anteriores a las ortodoxas (euclidianas, pitagóricas y platónicas), aquellas que involucran la mecánica o lo “movible” (Sanz Pérez Antonio, 2007).

Entre los más importantes y que fueron anteriores a Arquímedes en estudiar la cuadratura se encuentran Aristófanes (dramaturgo griego, 414 AC.) y Dinóstrato (390 AC.). Luego de Arquímedes y de establecer la imposibilidad de cuadrar el círculo solo con regla y compás, se abocaron otros inclusive Isaac Newton.







LA INCENTIVACIÓN DEL SABIO


Cuesta entender o mejor dicho comprender cuál era la motivación de los densos estudios que realizo Arquímedes, pero se puede dilucidar analizando varios puntos: 1) haciendo una comparación con los pintores o escultores los cuales trabajan por encargue de los reyes, emperadores, etc. En el caso de Arquímedes sus trabajos prácticos se sucedieron por pedidos de Hieron II, el rey Eclidérides y el rey Gelón.

2) Siracusa, lugar de nacimiento y cuna del esplendor matemático de Arquímedes, tenía una ubicación geográfica especial política y militar que necesitaba de menos sabios filosóficos o matemáticos. Sin embargo Arquímedes pudo adquirir y formarse de sabiduría desde su padre (Fidias), el cual era matemático y astrónomo, y por su posición social (aristócrata) la que le permitía mantener relación con el soberano Hieron II, el cual le encomendaba trabajos especiales y la instrucción de su progenitor. 3) En Alejandría absorbió la geometría euclidea, las concepciones aristotélicas, las ideas de Plat pensamiento de Platón y pudo relacionarse con los más destacados eruditos. De estos se destacan Conón de Samos (amigo de Aristarco de Samos) y Eratóstenes. Desde ahí nace o se alimenta todo el potencial investigativo y demostrativo de Arquímedes, de interpretar la naturaleza por la física y la física por la geometría, la interpretación, creación y medición de curvas. Mitos, certezas y leyendas conforman su vida y obra, por lo cual esquematizo a modo de clarificar y seguir un ordenamiento de la manera siguiente (Nezt y Noel, 2007. Strathern, 1999):

• TRABAJOS TEORICOS TRABAJOS PRACTICOS
• DE LOS CUERPOS FLOTANTES PLANETARIO MOVIL
• STOMACHION PALANCAS, FULCROS Y POLEAS
• EL MÉTODO DE LOS TEOREMAS MECÁNICOS TORNILLO SIN FIN
• DEL EQUILIBRIO DE LOS PLANOS PESO ESPECÍFIOCO
• DE LA ESFERA Y EL CILINDRO ESPEJOS PARABOLICOS
• DE LA CONSTRUCCION DE LAS ESFERAS CATAPULTAS
• MEDICIONES DEL CÍRCULO BALANZA HIDROSTATICA
• DE CONOIDES Y ESFEROIDES
• DE LAS ESPIRALES
• CUADRATURA DE LA PARABOLA
• EL ARENARIO

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL NÚMERO π

Del equilibrio de los planos, mediciones del círculo y de las espirales Arquímedes desarrolla los temas centrales de este trabajo.

Antes de adentrarnos en el desarrollo pleno es conveniente definir que es el número “pi”. π es la razón entre la longitud de una circunferencia (p) y su diámetro (d), lo cual es una constante (Navarro Joaquín, 2011):

p/d=π → p=πd=π2r

También es el doble de la razón constante entre el área de un círculo y su cuadrado inscrito:

Hasta aquí es cuestión de hallar el valor de π, luego se estudiaría o determinaría este valor junto con la cuadratura del círculo. En tiempos donde el pensamiento griego era muy influyente, se exigía encontrar esta equivalencia solo con compás y regla (no graduada) en una finitud de pasos. Todo se reducía a construir exactamente π con regla y compás. Cuadrar un círculo significa buscar un cuadrado de lado l, siendo





Es válido utilizar el concepto actual de límite para interpretar el desarrollo que hizo Arquímedes y no estaremos lejos de las deducciones y los conceptos utilizados (Navarro Joaquín, 2011). Primeramente utiliza polígonos inscritos y circunscritos, “jugaba” con el infinito y lo finito, y aproximaciones. En el desarrollo utilizaba el método de exhaución bien explicado por Molina Ángel (2008): “El método recurrente en Arquímedes es el llamado de exhaución. Este consiste en una aproximación entre figuras geométricas conocidas (polígonos regulares), inscritas y circunscritas, sobre otra por conocer, de manera que la diferencia entre unas y otras sea tan inderteminadamente pequeña que se consideren equivalentes. En tal procedimiento interviene un razonamiento lógico que garantiza la verdad de la aserción geométrica: la reducción por el absurdo. Así, la negación de equivalencia entre las áreas ocasiona una contradicción lógica insoluble, lo cual nos obliga, en aras de mantener el procedimiento lógicamente coherente, a aceptarla como verdadera”. Este método de exhausión fue estudiado y posiblemente inventado por Eudoxo de Cnido (400-347 a.C.).

Volviendo a los cálculos de Arquímedes, mencione que “jugaba con el infinito y lo finito” refiriéndome a la utilización de las cotas (superior e inferior). En ejemplos y gráficos ya conocidos tenemos:









En forma textual de Navarro Joaquín: “se va formando una especie de romboide curvilíneo que se hace cada vez mas plano. Recordemos que un romboide corriente, el área es igual a la base por la altura. La altura esta cada vez más cercana al radio r, mientras que la base es una curva que tiende a valer el semiperímetro (la mitad del perímetro) del círculo. El área tiende a

La novedad e ingenio de Arquímedes fue utilizar la aproximación, es como decir hay más de una solución, y utilizo polígonos de 96 lados. Y de estos resultados y del método utilizado se sirvieron los siguientes matemáticos, pero ya con una nueva visión metódica.

Pero para Arquímedes le servía para su cálculos referidos en el tratado de la esfera y el cilindro, donde deduce o mejor dicho demuestra (estas fórmulas ya se conocían) que la superficie de una esfera y el cilindro ocupa cuatro veces la de su círculo máximo (Fig. 3). También que el volumen de una esfera es de 2/3 del cilindro en el que cabe (Paul Strathern, 1999).

En el árenario hace varios supuestos (Paul Strathern, 1999): “el perímetro de la tierra en ningún caso será mayor a alrededor de 3.000.000 estadios”

“El diámetro de la Tierra es mayor que el diámetro de la Luna, y el diámetro del Sol es mayor que el diámetro de la Tierra.” “El diámetro del Sol es de unas treinta veces el diámetro de la Luna y no mayor.”

Uno de los notables sabios que siguieron el camino de Arquímedes fue Claudio Ptolomeo (hacia 100-hacia 170 d.C.), que utilizó un polígono de 120 lados, siendo π=3+17/120 (Joaquín Navarro, 2011).

Con respecto a la cuadratura del círculo hay que introducir un nuevo concepto para esa época, dentro del desarrollo geométrico: la espiral. Antes de Arquímedes existió Dinóstrato (Sanz Pérez Antonio, 2007), que utilizando el teorema de Thales, Pitágoras y la curva de Hipías pudo hallar la cuadratura del circulo (el autor se refiere a encontrar la trisección de un ángulo).

Arquímedes en su realización utiliza una curva a la cual llama “espiral” y su demostración se asemeja a la de Dinóstrato (Sanz Pérez Antonio, 2007). Tengo que aclarar que Arquímedes pudo tener conocimiento de esta demostración de Dinóstrato como no la pudo haber tenido y también hay que recordar que sus trabajos matemáticos más abstractos lo realizo en Siracusa (Paul Strathern):

“P representa cualquier punto de la espiral. La línea OW forma un ángulo recto con OP. La tangente en P hace intersección con OW en R. El arco PS tiene radio OP e interseca con la dirección inicial de la curva que sale de O. Arquimedes demostró que OR tiene la misma longitud que el arco PS. De ello se sigue que OU tiene la misma longitud que un cuarto de la circunferencia de un círculo de radio OT. Se dibuja este círculo y queda enmarcado por un cuadrado dibujado sobre la base OU”.



CONCLUSIONES

Reviel Netz y William Noel (2007), explican muy bien de cómo varios de los tratados especialmente el del Método, fueron “desapareciendo” por diferentes causas (difícil comprensión, invasiones y saqueos, incendios, etc.) Hacen referencia a J. Heiberg (historiador y filólogo danés) que en 1906 puede extraer varias conclusiones importantes, luego el códice se vuelve a perder. Netz y Noel se encuentran (a través de una subasta) en 1999 con el famoso código (contiene el método, el stomachion y sobre los cuerpos flotantes), pero ya estaba mas deteriorado y sobrescrito. Debo concluir que la demostración de la cuadratura del círculo hecha por Arquimedes y presentada en la actualidad tiene varios elementos que no le son originales. Como para dar un ejemplo son las letras, las cuales no son las griegas. Pero no distan mucho de la certeza de que el gran sabio pudo haber encontrado la cuadratura del círculo, primero por la demostración de trisecar un ángulo utilizando una espiral (Sanz Pérez Antonio, Pág.13, 2007) y segundo por demostrar la cuadratura de la parábola (Reviel Netz y William Noel, Pág.185-192, 2007).

Estas dos demostraciones revelan el método mecánico, la aplicación de la Física en las demostraciones y viceversa. Y esto responde a la pregunta ¿Por qué no fue considerada la demostración como válida? Primeramente porque no se encontraba dentro del marco filosófico de Platón. En el texto de Paul Strathern (1999) afirma que “Platón creía en Dios y la geometría, y que la verdadera geometría se limitaba a las formas ideales, o sea las que se forman con solo compas y regla, las demás se formaban con movimientos mecánicos y no se podían considerar ni eternas ni perfectas.” Pero Arquimedes fue más allá de una “simple cuadratura” o una espiral inventada, en el tratado de conoides y esferoides estudia las cónicas (elipse, hipérbola y parábola).

El otro intrincado a la demostración deviene con la demostración del alemán Lindemann (1882) que el número π no es un número algebraico por ser trascendente. Antes de Lindemann ya se sabía que si π era trascendente la cuadratura del círculo era imposible (Joaquín Navarro, 2011). En resumen π no solo es irracional sino que además es trascendente, lo cual significa que no es construible con regla y compás; por lo tanto cualquier cuadratura del círculo es imperfecta y acompaña “errores”. Cabe destacar que no solo en la cuadratura del círculo sino todos sus trabajos, Arquimedes consideraba el margen de error que acompañaba a la aproximación, y esto era a necesidad de interpretar la realidad.

BIBLIOGRAFÍA



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